* שימו לב שהנוסחאות אינן מופיעות בדף זה, לצפיה בחומר המלא יש להוריד את הקובץ
לקבלת קובץ WORD לחץ כאן
להורדת ממנים ופתרונות סמסטר א2012
מונחים
P הסתברות
M ממוצע
סטיית תקן
שונות האוכלוסיה
E תוחלת
V שונות
μ תוחלת האוכלוסיה (שווה תוחלת משתנה מקרי)
ממוצע המדגם
Z סטיית תקן
סטיית התקן של הממוצע
רווח סמך - (בדיקת השערות) למשל ברמה של 95% α=0.05
רמת מובהקות – (בדיקת השערות H0) רמת מובהקות α=0.05 מובטח שההסתברות לטעות מסוג I (דחיה מוטעית של H0) לא תעלה על α
עוצמה – (בדיקת השערות) למשל עוצמה של 95% היינו הסיכוי שלא נעשה טעות מסוג שני ( שהיא אי-דחיה מוטעית של H0
· ניתן להבטיח טעות I וטעות II קטנות ע"י שימוש במדגם גדול יותר
מדדים באוכלוסיה – פרמטר (גודל קבוע)
למשל: μ ממוצע האוכלוסיה, שונות האוכלוסיה, p פרופורציות האוכלוסיה
מדדים במדגם – סטטיסטי (משתנה מקרי)
למשל: ממוצע מדגם, שונות מדגם, פרופורציות מדגם
1. דגימה
חישוב תוחלת (בדף הנוסחאות)
חישוב תוחלת פרופורציה (בדף הנוסחאות)
חישוב שונות (בדף הנוסחאות)
2. רווחי סמך (רמת סמך 1-��)
· בהגדרת הוודאות (רמת הסמך) לדוגמא 95% נמצא את האיזור בו נמצא ממוצא האוכלוסיה האמיתי כשר אלפא שווה 1-0.95
שונות ידועה
פרופוריוצה
· למציאת גודל מדגם נדרש נשווה את לטעות המקובלת, למשל
3. בדיקת השערות
· נתקנן את תוצאת ממוצע המדגם ונמצא את ערך ה שלו לפי טבלאת Z או טבלאת T למדגמים הקטנים מ30
נוסחא בסיסית (שונות ידועה)
(בדף הנוסחאות)
משפט הגבול המרכזי - למציאת הטווח בין שתי נקודות שוות (שטח מתחת לפעמון)
למציאת סך המדגם יש להכפיל בN
בינום (P הצלחה, Q כשלון)
תוחלת
שונות
· במקרים מסויימים יש לתקנן טווחים (להוסיף חצי) אך קודם להגיע לתבנית של ≤≥
פרופורציות
אמידה
על מנת להעריך על האוכלוסיה ע"י מדגם
· אמידה נקודתית
· אמידה מרווחית-רווח סמך (רווח מקרי)
הרווח בין התוחלת במדגם לתוחלת האוכלוסיה
- הסטטיסטי אומד לפרמטר א.ח.ה
- הסטטיסטי אומד לפרמטר מוטה
- הסטטיסטי אומד לפרמטר א.ח.ה
- הסטטיסטי אומד לפרמטר א.ח.ה
· אומד טוב הוא הקרוב ביותר לפרמטר ונקרא חסר הטיה, תוכלתו של האומד שווה לפרמטר הנאמד
מבוסס על
· אם השונות אינה ידועה נשתמש בשונות המדגם ואז במקום Z נשתמש ב t מטבלאת ה t
לדוגמא
התפלגות חי בריבוע
במקרה בו השונות אינה ידועה, שונות מדגם תסומן ב במקום ב אשר הינה אי-שלילית ואסימטרית ולכן תסומן ב
לדוגמא 95%רווח סמך לשונות יצויין כ ולכל אחד מהם נמצא ערך בטבלה
ורווח סמך לסטיית התקן היינו שורש שלו
מדגמים בלתי תלויים (שני מדגמים)
· עבור מדגמים מספיק גדולים ועבור אוכלוסיות נורמליות הפרש הממוצעים של שני המדגמים מתפלג נורמליות עם
· נוכל להסיק שאחד גדול מהשני רק אם שתי קצוות התוצאה חיוביות בלבד או שלילית בלבד (אינו מכיל 0)
רווח סמך בינומי (למשל בחירות) -
· בהעדר נתונים לpq נשתמש בערך המקסימלי שבו p=q=0.5
13. בדיקת השערות – השערת ה0
מושגים:
· השערת האפס –
· האלטרנטיבה –
שלבים בבדיקת השערות:
1. ננסח השערות
2. נקבע סטטיסטי, התפלגות דגימה, הנחות ומידע.
3. נקבע רמת מובהקות
4. נחשב את איזור הדחיה
5. נבצע מדגם, נחשב את האומדן ואת סטטיסטי המבחן.
6. נסיק מסקנה מילולית
נחליט מי ההשערה הנכונה לפי מבחן סטטיסטי ונגיע לאחת מההחלטות הבאות
· דחית השערת האפס - (שווה ל ) – ובזאת קבלת האלט'
· אי דחית השערת האפס– - ובזאת דחיית האלט'
ויתכנו שתי טעויות
· טעות מסוג 1 (α) – דחייה מוטעית של השערת האפס
· טעות מסוג 2 (β) – קבלה מוטעית של השערת האפס
דחית
|
קבלת
| |
בדיקת השערות על תוחלת
1 – מבחן חד צדדי ימני
|
2 – מבחן חד צדדי שמאלי
|
3 – מבחן דו צדדי
|
דוגמא:
את אותו הדבר אפשר לעשות גם בעולם של אם ידוע לנו הממוצע של
נקודות חשובות
· במבחן דו-צדדי יש להשתמש ב
· כשגודל המדגם קבוע ככל שהסיכוי לטעות אלפה קטן הסיכוי לטעות בטא גדל
· את הסיכוי לטעות בטא בודקים מול הערך הקריטי של אלפה
מציאת גודל מדגם מינימלי
מציאת N בהתאמה ל אלפא ובטא
· כשאר שונות האוכלוסיה אינה ידועה נשתמש ב משוכלל
נשכלל ממוצע שונויות
השערות על הפרש תוחלות
· C הוא ההפרש אותו אנו רוצים למצוא
· ערך ה T הוא
· נדחה את טענת ה0 אם הערך המתוקנן שהתקבל גדול מערך T קריטי מהטבלה
דוגמא:
1
2
לכן ברמת מובהקות של 0.05 נדחה את טענת ה0, אכן אפשר להגיד שהצריכה הממוצעת בירושליים בחודש דצמבר גדולה בכ20 קוט"ש מבתל אביב
הפרש תוחלות במדגמים מזווגים (בעלי התפלגות נורמלית)
מדגמים מזווגים הם שני מדגמים על אותם N אנשים בזמנים שונים
למשל, מבחן חד-צדדי ימני
שלבים לפתרון:
1. נמצא את ההפרש לכל זוג במדגם וניצור מהם משתנה חדש בשם שבו
2. מהנתונים החדשים נחשב שונות
3. על הנתונים החדשים נריץ מבחן T או Z כאילו על תוחלת אחת
4. נדחה את השערת ה0 אם הסטטיסטי יצא גדול מהסף
בדיקת השערות על שונות (חי בריבוע)
· לא להשתמש בטעות בסטית תקן
שלבים לפתרון:
1. נציב את הסטטיסטי המתאים במשוואה המתאימה
2. נגדיר האם המבחן חד-צדדי או דו-צדדי
3. נמצא את הערך הקריטי בטבלאת ונקבל את ההשערה המתאימה לתוצאה
הפרש בין שונויות
·
· למציאת הערך הקריטי של הזנב השמאלי
· בהתפלות דו-צדדית נחשב כל צד בנפרד
נקבל את השערת ה0 כאשר F שווה או קרוב ל 1 ונדחה את השערת ה0 כאשר F רחוק מ1
שיעור 9 +10
מבחנים א-פרמטרים
משמשים למקרים בהם
1. המדגם לא מספיק גדול
2. לא ניתן להניח התפלגות נורמלית (הקבוצות קטנות מ10)
3. המשתנים אינם כמותיים (סולם רווחים או מנה)
מבחנים למשתנה אחד
- מבחן הבינום (טבלה עמ' 49)
o למציאת הבינום המצטבר להסתברות P נחפש בטבלה N=מס' הנבדקים וX= מס' ההצלחות
- מבחן טיב התאמה – בדיקה להתפלגות אחידה (קוביה הוגנת)
o היא ההתפלגות הניצפית, היא ההתפלגות המצופה
o דרגת החופש שווה למספר הקטגוריות במבחן מינוס 1 (k-1)
o אם α בצד שמאל נחפש לפי 1-α (<0.5 = ...
o נדחה את השערת ה0 אם הערך גדול ממנה
מבחנים לשני משתנים מזווגים
- מבחן הסימן (בינומי כשP=0.5)
o משתמשים כשהנתון היחידי הוא סימן (פחות/יותר, גברים/נשים)
o P=0.5
o נתעלם מתצפיות 0 (ללא שינוי)
o משתמשים בטבלאת התפלגות בינומית מצטברת למצוא את Pv (ע"מ 48)
o אם נדחית
o בהשערה דו-צדדית אם נדחית
- מבחן וילקוקסון למדגמים תלויים/מזווגים (מקביל למבחן T)
o בנוסף לסימן לוקח בחשבון גם את גודל ההפרש
o נחשב את ההפרשים בערך מוחלט
o ניתן דירוג לכל פרשים מהקטן-1 עד הגדול-N
o נחשב את סך הדירוג להפרשין חיוביים ואת סך הדירוג להפרשים שליליים
o דוחים את השערת ה0 אם הערך הקטן מהשניים קטן מהערך הקריטי (טבלה עמ' 55)
- מבחן מקנמר (משתנים שמיים דיכוטומים – מבחן דו צדדי בלבד!)
o משמש למבחנים שמיים דיכוטומים (שני מצבים לפני/אחרי)
o משמש למבחן דו-צדדי כאשר
o מחשבים את ההפרש בין שני המשתנים לפי הנוסחא
o משווים לערך הקריטי מטבלאת חי בריבוע לפי דרגת חופש אחת
o דוחים את השערת ה0 אם גדול מערך חי בריבוע בדרגת חופש אחת
מבחנים למשתנים בלתי מזווגים
- מבחן וילקוקסון למדגמים בלתי-תלויים
o ניתן דירוג לכל תוצאה מ1 עד
o נחשב את הסכום הכולל של כל קבוצה
o נמצא את הU הקטן מהשניים לפי הנוסחא
o נמצא את הערך Pv לפי הטבלאות בע"מ 50
o נדחה את השערת ה0 אם α > Pv (או 2Pv לדו-צדדי)
- מבחן פישר (הפרש פרופורציות)
o נגדיר הצלחה ונמצא את הפרופורציה להצלחה בכל קבוצה
o נבנה טבלאת שכיחויות וטבלא נוספת שמייצגת את מצב הקיצון H1
o נציב בנוסחא ואם קטן מ α נדחה את השערת ה0
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה