חשבון דיפרנציאלי לתלמידי כלכלה וניהול , 10142

 * שימו לב שהנוסחאות אינן מופיעות בדף זה, לצפיה בחומר המלא יש להוריד את הקובץ

לקבלת קובץ WORD לחץ כאן

הגדרה – פונקצה היא התאמה שמתאימה לכל X Y אחד ויחיד

 

פונקצית הקו הישר (ממעלה ראשונה / לינארית)

מציאת שיפוע הפונקציה:                         

פונקציה בעלת תחום מפוצל (פונקצית ענפים)

 

פונקציה ריבועית (ממעלה 2 / פרבולה)

גרף פרבולה:

a > 0  - פרבולה צוחקת

a < 0  - פרבולה בוכה

מציאת הקודקוד:

           

פתירת משוואה ריבועית:

·         נוסחת השורשים -

·      טרינום – נתנה המשוואה

כדי שנעשה פירוק טרינום, נחפש שני מספרים שמכפלתם היא  12- וסכומם 1- 

(בגלל שהמקדם של x) הוא 1-. וכמובן שהמספרים הם 3 ו- 4-.

(x-4)( x+3)  ניתן לפתוח סוגריים ולראות שזה באמת נכון.

חוקי חזקות:

חוקי שורשים:

פונקציה מעריכית

הגדרת הלוג -  

Ln – ln הוא log של e

·         Ln(x)  מחייב X חיובי!!

אחוזים

A – כמות התחלתית

P – אחוז גידול/ירידה

T – כמות יחידות הזמן (שעה,שנה,חודש)

נגזרות

נגזרת של פונקציה ממשית בנקודה מתארת את קצב ההשתנות של הפונקציה בנקודה.

לדוגמה אם הפונקציה מתארת את המיקום (העתק) של מכונית נוסעת כפונקציה של הזמן, אזי הנגזרת מתארת את המהירות של המכונית ונגזרת של המהירות היא התאוצה של המכונית.

פונקציה יורדת   -            

פונקציה עולה     -            

חשודה לנקודת קיצון -      

דף כללי נגזרות

הנגזרת של e בחזקת x היא e בחזקת x. בדיוק כמו הפונקציה.

מציאת קיצון

דוגמא:

 X -       0          -3

Y' -       +          -

Y  -       עולה     יורד

לכן – נקודת קיצון,

נגזרת שנייה

בנקודה שהנגזרת הראשונה שווה ל-0

אם נגזרת שניה חיובית זוהי נקודת מינימום ואם חיובית זוהי מקסימום.

בנוסף, משמשת למציאות קמירות וקעירות (נמדד ביחס לתחתית)

נקודות קיצון – נקודת בהם ירידה משתנה לעליה או להפך

·         בנקודות קיצון תמיד הנגזרת שווה ל0

נקודות פיתול – נקודות בהן יש שינוי מקעירות לקמירות או להפך

·         בנקודת פיתול תמיד הנגזרת השנייה שווה ל0

קעורה   -           שלילי-    

קמורה   -           חיובי -    

חשודה כנקודת פיתול     -            

 

משיקים

שיפוע המשיקים קטן = פונקציה קעורה = נגזרת שניה שלילית

שיפוע משיקים גדל = פונקציה קמורה = נגזרת שניה חיובית

 

מיתרים

 

בנוסף, בגרף קעור נמצאים המיתרים במגמת ירידה ואילו בגרף קמור נמצאים במגמת עליה

מציאת מיתר =

מכיוון שהמיתר מתחת לקשת גובה המיתר בנקודה 3 קטן מF(3)

רווח היצרן

TR = PQ

פונקצית הרווח

ועל מנת למצוא את מקסימום הרווח נחפש לה מקסימום

 

--לכן  והרווח המקסימלי היינו בנקודה

 

מונוטוניות

פונקציה אשר רק עולה או רק יורדת!

Y’  אינו שווה ל-0

 

 

עקומות שוות ערך (עש"ע)

מושגים:

בהנתן f(x,y) אוסף כל הסלים הנותנים את אותו ערך (תועלת) C

תקרא עש"ע אינדקס C, של f

מסמנים f(x,y)=C

·         לכל אינדקס יש עקומה

·         מפה -  אוסף עקומות

·         כיוון גידול – הכיוון אליו זזות הנקודות בגדילת האינדקס

עש"ע מינימום

נתאר בצורה

נבחר תועלת, 6

נמצא ונצייר את קו העזר 

בתחום שמעליו X=3 ובתחום שמתחתיו Y=2

נגזרות חלקיות -

סימון   -   F(x,y)

1.     1 מייצג את המשתנה הראשון

2.    נגזרת מסדר שני (נגזרת שניה)  אפשר לגזור לפי X או Y

בגזירה לפי משתנה כל שאר המשתנים דינם כדין מספרים קבועים!

בתנאים המתאימים (אשר תמיד מתקיימים בקורס) בנגזרת מסדר שני לא משנה סדר הגזירה

שעור תחלופה שולי MRS

מייצג את הוויתור על Y לכל X, בנקודה מסויימת

משפט הפונקציות הסתומות )מפ"ס)F – עליה / ירידה

קובע כי שיפוע של עש"ע נתון ע"י

ולכן

משפט קואזי – קעירות / קמירות

נגדיר תבנית D  

	עש"ע U קעורה	U קואזי קמורה
	עש"ע U קמורה	U קואזי קעורה

3.    קואזי נכון רק במצב שבו         

משפט עזר למציאות כיוון גידול התועלת (החץ השמן)

חץ עולה       -       
חץ יורד        -       

4.      במקרים אחרים לא רלוונטי

לסיכום סה"כ שתי דרכים לסרטוט הפונקציה

1.      חקירה זריזה Y' Y''

2.      מפ"ס + קואזי

3.        

קיצון ללא אילוצים

תנאי סדר ראשון (תנאי הכרחי):

            חייבים לאפס את הנגזרות החלקיות           

                ואז פותרים את מערכת המשוואות ומוצאים ( ) חשודות לקיצון

תנאי סדר שני:

           

 - לא קיצון (אוכף)

 -> הכל אפשרי, צריך כלי אחר

אם  – קיצון                        במצב זה אם  זוהי נקודת מינימום ואם  זוהי מקסימום

 

קיצון תחת אילוץ

מטרה, פונקצית מטרה   

S.T אילוץ c                     

תנאי סדר ראשון:

מוצאים חשודה לקיצון -

תנאי סדר שני:

H > 0  –  Min   ;   H < 0  -  Max

פתרון הבעיה:

וערך מקסימלי הוא

פתרון גרפי לבעיות קיצון

נשרטט את האילוץ

נציב אינדקסים  ונשרטט את מפת העש"ע לפו' המטרה

נצביע לפי האיור על נקודת הקיצון ונסביר את הבחירה

פונקציה הומוגנית

פונקציה הומוגנית היא פונקציה אשר לכל t חיובי מתקיים

כלומר הכפלת המשתנים ב t מכפילה את ערכה של הפונקציה ב

משפט 1 - אם פונקציה הומוגנית מדרגה/מסדר p נגזרותיה החלקיות  הומוגניות מדרגה p-1

משפט 2 (משפט אוילר) – אם f פונקציה הומוגנית מסדר p אז לכל x וכל y

אינטגרלים

מציאת פונקציה קדומה לפונקציה נתונה (הופכי לגזירה)

חוק 1                           

לדוגמא :                                               

חוק 2               

·         קבוע כפלי יוצא מחוץ לאינטגרל ועובר ישירות לקדומה

חוק 3               

אינטגרל מסוים בקטע ספציפי - אינטגרל משמש לחישובי שטח

משפט יסודי                  

תוצאת האינטגרל היא פונק, גבול עליון פחות פונקציה גבול עליון

 

חישובי שטחים

·         קודם כל בדוק האם בכלל מדובר בקו ישר / שטח משולש

חישוב השטח הכלוא בין f(x) ו g(x) בקטע   (תמיד חיובי) (b>a)

·         שטח המוגבל ע"י יותר משתי פונקציות יחושב כחיבור או חיסור של שני שטחים שונים

1.      נמצא את האינטגרל של f(x)  ושל  g(x)

2.      אינטגרל b f(x) – g(x) פחות אינטגרל a f(x) – g(x)

3.      נמצא את השטח של f(x)

4.      נמצא את השטח של g(x)

5.      נחסר את השטח של g(x) מ f(x)